1) Tangente à T1, en a :
y1 = f'(a)(x-a) + f(a) = 4a(x-a) + 2a² +1 = 4ax - 2a² +1

Tangente à T2, en b :
y2 = f'(b)(x-b) + f(b) = (-2b + 6)(x - b ) -b² +6b -5 = (-2b + 6)x + b² - 5

On cherche deux tangentes communes, ie a et b tel que y1 = y2
<=> 4ax -2a² +1 = (-2b + 6)x + b² -5 pour tout x de R
<=> (4a + 2b - 6)x -2a² -b² +6 = 0 pour tout x de R
<=> 4a + 2b -6 = 0 et -2a² -b² +6 = 0
<=> b = -2a + 3 et 2a² = 6 - ( 4a² - 12a + 9)
<=> b = -2a +3 et 6a² -12a +3 =0
<=> b = -2a +3 et 2a² -4a +1 = 0
<=> b = -2a +3 et a = 1 +- racine(2)/2
<=> a = 1 +- racine(2)/2 et b = 3 -2( 1 +- racine(2)/2) = 1 -+ racine(2)
Voilà les deux points de chaque tangente, si je ne me suis pas planté
Attention, le + du a correspond au - du b ...

Pour la deux j'ai la flemme de tout faire now, mais voilà ce que j'aurais fait :
- calcul des coeff directeurs de chacune des droites
- je montre qu'ils sont égaux

This post was edited by hebus on Dec 15 2009 02:42pm

comme d'hab, je propose mon truc, si quelqu'un a mieux n'hésitez pas, ça sera sûrement moins moche.

je note f1(x) = 2x² + 1
et f2(x) = -x² + 6x - 5

les équations des tangentes à P1 et P2 au point (x0,y0) sont de la forme :

f1'(x0)(x-x0) + f1(x0)
f2'(x0)(x-x0) + f2'(x0)

ce qui donne :

t1(x) = (4*x0)(x-x0) + 2*x0² + 1 = (4*x0)x - 2*x0² + 1
t2(x) = (-2*x0 + 6)(x-x0) - x0² + 6*x0 - 5 = (-2*x0 + 6)x + x0² - 5
[en notant t1(x) l'équation de la tangente à P1 au point x0, et t2(x) celle de P2]

une tangente est commune à P1 et P2 ssi il existe (x1, x2) tq qqsoit x € R, t1(x) [en x0=x1] = t2(x) [en x0=x2]
c'est-à-dire ssi il existe x1 et x2 tq
(4*x1) = (-2*x2 + 6)
et -2*x1² + 1 = x2² - 5

[pour que deux droites soient égales, ils faut qu'elles aient le même coefficient directeur et la même coordonnée à l'origine, c'est ce que j'ai écrit juste au-dessus]

en fait, une condition suffisante pour qu'il existe deux couples (x1, x2) est qu'il existe soit deux x1 distincts, soit deux x2 distincts vérifiant les équations ci-dessus (inutile de calculer les valeurs de x1 et x2 pour l'instant !)
[c'est dû au fait qu'à partir de la première équation, on peut calculer x2 a partir de x1, et vice-versa]

par exemple, en mettant au carré la première équation [ !! tu n'auras peut-être pas toutes les solutions, mais la suite démontre qu'on s'en fout] et en multipliant la seconde par -8 on obtient :

16*x1² = 4*x2² + 36 - 24*x2
16*x1² = -8*x2² + 48

donc on a : 12*x2² - 12 - 24*x2 = 0 i.e x2² - 2*x2 - 1 = 0

delta = 4 + 4 = 8 > 0 donc on a deux racines réelles : deux valeurs de x2 admettent un x1 pour former un couple solution des équations.
Il existe donc deux couples qui vérifient les équations : P1 et P2 ont deux tangentes communes.

2)

résous l'équation du second degré que j'ai indiqué au-dessus, et calcule les x1 correspondant à partir de la première équation.

les couples que j'obtiens :

T1 :
x1 = 1 + sqrt(2)/2
x2 = 1 - sqrt(2)

T2 :
x1 = 1 - sqrt(2)/2
x2 = 1 + sqrt(2)/2

[sqrt(...) = racine de ...]
maintenant, j'en ai marre des calculs, je te dis juste quoi faire :

1. calculer les ordonnées des intersections de T1 et T2 avec P1 et P2 [tu as déjà les abscisses : pour chaque tangente, x1 est l'abscisse de l'intersection de T avec P1, x2 celle de T avec P2] [il suffit de calculer l'ordonnée à partir des équations des paraboles par exemple]
2. calculer le coefficient directeur des droites A1B1 et A2B2 (tu as les coordonnées des points, ça devrait pas être trop difficile]
3. prier pour que les calculs soient bons (je ne suis même pas sûr du tout des miens, ne recopie pas bêtement...) et que tu trouves bien le même résultat.

e/
je suis rassuré, on trouve pareil.
aussi : plutôt que de mettre au carré la première équation dans le 1) tu peux substituer directement, tu seras certain d'avoir tous les résultats car tu conserves alors l'équivalence.

e2/
en fait la démonstration de hebus est plus claire (même en virant le baratin), et c'est exactement le même raisonnement.

This post was edited by Hubbard on Dec 15 2009 03:03pm

hm
j'avais fait ça avant que vous ne répondiez
je sais pas si c'est juste :
pour P1 soit f(x) = 2x²+1
pour P2 soit g(x) = -x²+6x-5

je cherche la dérivée de f(x) qui me donne f'(x)= 4x , de même pour g(x)= 2x+6
J'ai constaté que pour x=1 les dérivés des fonctions ( les coefficients directeur) sont égaux f'(1) = 4 = g'(x)
J'ai dit que comme elles ont un même coeff directeurs, elles sont communes.
et T1: y= f'(a)(x-a)+f(a) = f'(1)(x-1)+f(1) = 4x -2 +1 = 4x-1 = y
alors pour trouver une intersection en un point ( T1 et P1 en un point A1) j'ai fais T1=P1
2x²+1= 4x -1
2x²-4x+2 = 0
J'fais delta et j'trouve 1 solution ( c'est qui est parfait pour trouver 1 point )
-b/2a = 1
donc x =1
et j'remet x = 1 dans mon équation de P1 ( par exemple ) et j'trouve y = 2x (1)² +1 = 3
donc A1 (1;3)



c'est faux comme raisonnement ? parce que j'retrouve pas ça du tout dans vos calculs, et j'comprends pas pourquoi tu ( hebus) a remplacé a par b pour T2
biensur j'ai pas du tout finis, apres avec la même technique je trouve aucune solution pour T2

This post was edited by Tutur93 on Dec 15 2009 03:35pm

oui c'est faux ^^
cf ce que j'ai écrit en gras : tu écris la condition de parallélisme, mais il faut aussi que la condition d'abscisse à l'origine soit vérifiée pour que les tangentes soient confondues.
et dans ta résolution (ligne juste au-dessus) tu cherches un x qui satisfait les deux équations, alors qu'en fait sauf cas particulier les abscisses sont distinctes (x1 et x2). Fais un dessin : une tangente commune ne coupe pas forcément les deux courbes en un même point !
C'est pour cette même raison qu'on a "remplacé a par b".
On obtient à la fin un système à deux équations (une par condition), qu'il suffit de résoudre.

This post was edited by Hubbard on Dec 15 2009 04:10pm

oki, et dans ce que vous avez écrit tous les deux il n'est jamais question de calculer l'ordonnée
c'est normal ? c'est pas utile ? ( j'dis ça parce qu'on me demande de démontrer des points A1/A2/B1/B2)

l'ordonnée n'est utile que pour la deuxième question.

pour la première, il suffit de vérifier qu'il existe deux couples d'abscisses (x1, x2) et (x'1, x'2) tels que la tangente à P1 en x1 (resp. x'1) soit la tangente à P2 en x2 (resp. x'2). On a donc bien deux tangentes si les couples sont distincts !

d'acc, ça j'ai compris, j'ai relis le raissonnement de hebus et un truc me chiffone :
y2 = f'(b)(x-b) + f(b) = (-2b + 6)(x - b ) -b² +6b -5 = (-2b + 6)x + b² - 5

ou est passé le 6b en gras ?

e:/ ah nan j'ai compris c'est bon)

This post was edited by Tutur93 on Dec 15 2009 04:24pm

En développant, il se supprime ^^
Sinon pour l'histoire du b, c'est qu'il faut que tu es l'expression des deux tangentes en un point quelconque de R. Mais rien ne te dit que les points où la tangente aux deux courbes est commune sont les mêmes !
En gros, la tangente commune à P1 et P2 peut très bien être la tangente à P1 en a=1 et à P2 en b=2. (Je prends des valeurs fausses, juste pour t'expliquer)



Déjà ta dérivé de g est fausse : g'(x) = -2x +6
Ensuite je ne vois rien qui puisse être égal en 1 : f'(1) = 4 /= 8 = g'(1) ...

This post was edited by hebus on Dec 16 2009 12:46am

can some encounters change someone's life ? niveau ts
j'offre 150fg's pour
thx

c ez
ta juste a lcalculé la dimension entr latmhostphrr et le sol tu devise le t par 100 puis readdition par 8.4, ca donne lekivalence entre 2 platform bien distinkt, ds ce ca si tu tombes sur 0.xx, tu remulti par 9/4 pr ensuite modifier la valeur de numerator par 0.5, ca donne ~0.6