voila pour le 2e Amo :
je prends par l'absurde : on suppose f décroissante , f/x croissante
et je suppose que il existe E> 0 tel que pour tout éta >0 il existe xn et yn tel que |xn-yn| < éta et |f(xn)-f(y n)|> E
je ne fais que nier la définition de la continuité
et je suppose que xn < yn
ca revient au même de dire yn< xn de toute facon
donc
f(x )/ x est croissante
donc pour xn et yn ca revient à dire que
0< f(yn )/ yn - f(xn)/ xn
et si tu réaranges ca fait : 0< xn*f(yn ) -yn*f(xn)
la on va utiliser la technique du 1-1 = 0
xn*f(yn ) -yn*f(xn) = xn*f(yn ) - xnf(xn) + xnf(xn) - yn f(xn )
donc xn*f(yn ) -yn*f(xn) = xn[ f(yn )-f(xn) ] + (xn-yn) f(xn )
et comme 0< xn*f(yn ) -yn*f(xn)
on a donc 0< xn[ f(yn )-f(xn) ] + (xn-yn) f(xn )
je passe un terme de l'autre coté
xn[ f(xn )-f(yn ) ] < + (xn-yn)f(xn)
et comme f est décroissante : [ f(xn )-f(yn ) ] >0
donc 0< f(xn) - f(yn ) < [(xn-yn ) f(xn )]/ xn
on peut passer au valeur absolu car tout est positif et on majore (xn - yn ) par 1/n ( j'ai pris éta = 1/n , de toute facon ca marche pour tout les éta )
et f(xn)/ xn on peut le majorer par M car f(x ) / x est décroissante
donc f(xn)-f(yn ) < M/n
donc pour n assez grand | f(xn) - f(yn ) | < E
ce qui contredit mon hypothèse de départ
donc f est continue
c'est bourrin mais un moment ca soule de chercher à être efficace
voila je le post ici pour que clement (ou d'autres) puissent corriger au cas ou c'est faux
