Quote (link78 @ Fri, 10 Apr 2009, 23:11)
bonsoir à tous
je fait de nouveau appel à ce topic fort utile pour une aide en maths
j'ai un dm d'intégration a rendre mardi
j'aurais besoin d'un coup de pouce si possible :
on définie d'abord, quel que soit x>0 , F(x) = int(1,x) de ln(t ) / (1+t²) dt ,( avec int(a,b) = intégrale de a à b de .... )
1/ montrer que quel que soit x>0, F(x)=F(1/x)
2/ a)
i) soit phi la fonction définie sur R+* , par quel que soit x>0, phi(x) = arctanx/x
montrer que phi est prolongeable par continuité en 0
(ca c'est bwen et j'ai posé phi(0)=1"
ii) montrer que quel que soit x>0, F(x) = arctan x*lnx - int(0,x) de phi(t)dt
(ca c'est bwen aussi apres une IPP)
iii) en déduire que la fonction F est prolongeable par continuité en 0, la nouvelle fonction ainsi obtenue sera encore notée F
que peut-on dire de F au voisinage de +oo (celle-ci je vois pas, d'apres la prof elle est pas aussi évidente qu'il n'y parait)
b ) montrer que F n'est pas dérivable à droite en 0. Que peut-on dire de la courbe représentative de F au voisinage de 0 ?
3/
a) pour k dans N et x>0, calculer Ik(x) = int(1,x) de t^k*ln(t ) dt
b ) montrer que : quel que soit n dans N, quel que soit x >0 : 1/(1+x²) = somme de k=0 jusqu'à n des (-1)^k*x^2k+(-1)^(n+1)*[(x^(2n+2))/(1+x²)]
c) en déduire que pour n dans N et x dans ]0,1[ : | F(x)-somme de k=0 jusqu'à n des (-1)^k*I2k(x) | <= I[2n+2](x)
désolé pour la fin c'est pas tres facile d'écrire les sommes avec tous les produits
voila si on pouvait me donner des pistes ce serait vraiment sympathique
je vous remercie d'avance
yo
1/ F(1/x) = int(1,1/x) de ln(t ) / (1+t²) dt
on fait le changement de variable t <- 1/t = u(t) :
c'est licite car t décrit [1, 1/x] donc t ne s'annule pas : u(t)=1/t est bien défini (et C1) et du/dt = -1/t² = - u² ne s'annule pas, donc u est un C1-difféomorphisme de [1,1/x] sur [1,x].
alors F(1/x) = int(1,x) de ln(1/u) / (1+1/u²) * - du/u² = int(1,x) de - ln(u) / (1+u²) * u² * - du/u² = int(1,x) de ln(u) / (1+u²)du = F(x).
2/
a)
iii. je sais pas
3/
a) on fait une IPP.
u = ln(t), u' = 1/t
v' = t^k, v = 1/(k+1)*t^(k+1)
alors pour tout x > 0, Ik(x) = int(1,x) de t^k*ln(t ) = [1/(k+1)*t^(k+1)*ln(t)] entre x et 1 - int (1,x) de 1/(k+1)*t^k = 1/(k+1)*x^(k+1)*ln(x) - [ t^(k+1)/(k+1)² ] entre x et 1
= 1/(k+1)*x^(k+1)*ln(x) - x^(k+1)/(k+1)² + 1/(k+1)²
b.
somme de k=0 jusqu'à n des (-1)^k*x^2k+(-1)^(n+1)*[(x^(2n+2))/(1+x²)] = somme de k=0 jusqu'à n des (-x²)^k+(-1)^(n+1)*[(x^(2n+2))/(1+x²)] je fais juste apparaître une suite géométrique
= (1 - (-x²)^(n+1)) / ( 1 - (-x²)) + (-1)^(n+1)*[(x^(2n+2))/(1+x²)]
= 1/ (1+x²) en développant bref jte laisse faire les calculs
c) je sais pas ça a l'air bien calculatoire (trop bourrin pour être fait sur un clavier en tout cas...)
si t'arrives vraiment pas à faire les 2 questions qui restent, je verrai le truc plus en détail...
a 1h du matin mon cerveau est déjà couché
This post was edited by Hubbard on Apr 10 2009 05:13pm