Quote (link78 @ Sun, 15 Mar 2009, 15:18)
bonjour à tous, voila je reviens sur mon exercice, en pensant avoir trouvé l'ébauche d'une solution
j'aurais juste besoin de l'avis d'un calé en analyse (hebus ou clément ... etc)
voila
voila j'appelle ma limite de base : lim (qd n tend vers +oo) de intégrale de f(t)sin(nt) dt (je vous épargne les "de a à b"
)
en disans que g(t) est une fonction en escalier sur [a,b] approchant f, on a
intégrale de |f(t)-g(t)| < epsilon/2 avec epsilon positif
ensuite je dis que ma suite est inférieure à :| intégrale de (f(t)-g(t))(sin(nt) dt | + |intégrale de g(t)sin(nt) | (c'est la que j'avais pas été très précis clément)
au final ma suite tendant vers l'infini est inférieure à epsilon/2+epsilon/2 donc a n'importe quel epsilon positif
donc elle est égale à 0
voila iso vérification
merci d'avance
lani
je sais pas si c'est ce que tu as fait... mais |intégrale de g(t)sin(nt)| n'a aucune raison d'être inférieure à epsilon/2 :/
voila mon truc, ça vaut ce que ça vaut :
|intégrale de f(t)sin(nt)dt| = |intégrale de (f(t)-g(t))sin(nt)dt + intégrale de g(t)sin(nt)dt|
=< |intégrale de (f(t)-g(t))sin(nt)dt| + |intégrale de g(t)sin(nt)dt|
=< intégrale de |(f(t)-g(t))sin(nt)|dt + |intégrale de g(t)sin(nt)dt|
or :
|f(t)-g(t)| =< epsilon/2
donc |f(t)-g(t)||sin(nt)| =< epsilon/2|sin(nt)|, puis intégrale de |f(t)-g(t)||sin(nt)|dt =< intégrale de epsilon/2|sin(nt)| car fonctions positives
on a donc |intégrale de f(t)sin(nt)dt| =< epsilon/2 * intégrale de |sin(nt)|dt + |intégrale de g(t)sin(nt)dt|
quand n tend vers l'infini, |intégrale de g(t)sin(nt)dt| -> 0
de plus intégrale de |sin(nt)|dt =< (b-a)*max(|sin(nt)|) = (b-a) (je sais plus comment s'appelle cette propriété...)[j'ai supposé b > a, enfin, qu'importe...]
donc lim|intégrale de f(t)sin(nt)dt| =< epsilon/2 *(b-a) en passant à la limite
puis, comme on peut prendre epsilon aussi petit qu'on veut, par encadrement,
lim|intégrale de f(t)sin(nt)dt| = 0
This post was edited by Hubbard on Mar 15 2009 11:07am