Quote (link78 @ Fri, 9 Jan 2009, 19:02)
Bonsoir à tous
alors voila j'ai un dm de math pour lundi et j'ai pas trop eu le temps d'avancer, j'ai pu faire que les questions faciles
et j'aurais besoin d'aide si c'est possible
voila le dm traite d'équa diff et de suites récurrentes :
Partie 1 :1/ résoudre sur ]-oo,0[ , l'équation y'+y = exp(|x|)
2/résoudre sur [0,+oo[ cette équation
3/ déterminer les solutions sur R de cette équation (on rappelle qu'une solution est une fonction dérivable)
c'est tout en équa diff j'ai pas eu le temps de toucher mais la question 3 a part par raccordement je vois pas comment faire et meme par raccordement ca me parait flou vu l'indication ...
Partie 2 :étant donné un parametre §>0 on note E§ l'ensemble des suites U=(Un)n>=0 de réels qui vérifient, pour tout n>=0 la relation de récurrence :
Un+2=§((Un+1)+(Un))
1/ montrer que l'on peut trouver deux réels non nuls r et s avec r<s tels que les suites R=(r^n)n>=0 et S(s^n)n>=0 soient des éléments de E§
exprimer r et s et comparer |r| et |s|
ca j'ai trouvé : il y a une résolution d'équation du second degré a un moment et ca me donne :
r= (§-sqrt(§²+4§))/2 et s=(§+sqrt(§²+4§))/2
et apres un petit calcul je trouve |r|<|s|
2/étant donné un élément U=(Un)n>=0, de E§ s'écrivant U=aR+bS, avec (a,
£R², donner l'expression de a et b en fonction de U0, U1, r et s
ca je trouve : a=(U1-U0)/(r-s) et b=U0-a
pourquoi tous les élément de E§ ont-ils la meme forme que U (c'est à dire tous les éléments de E§ est-il une combinaison linéaire des suites R et S) on pourra raisonner par récurrence
celle la la prof m'a dit que c'était pas évident, j'ai vraiment pas d'idée
3/ on suppose dans cette question que l'on a 0<§<1/2 ; de plus U=(Un)n>=0 désigne un élément de E§
a) montrer que la suite U converge vers 0
l'a j'ai utilisé la formule et je trouve -1<r<s<1 donc R et S sont géométriques de raison compris entre -1 et 1 donc elle convergent vers 0 (je suis pas tres sur sur ce coup ci)
b)si U1-U0r n'est pas nul, montrer qu'il existe un indice n0 tel que pour tout n>n0, Un ne s'annule pas et garde un signe constant et que l'on a :
lim quand n->+oo = ln(|Un|)/n=ln(s) (la j'ai pas trouvé)
c) montrer que si au contraire U1-U0r est nul et si la suite (Un)n>=0 n'est pas identiquement nulle, alors, pour tout entier n>=0, Un et Un+1 sont de signe contraire. quel équivalent peut-on donner dans ce cas de ln(|Un|) ? (la rien nomplus)
4/ on suppose que l'on a dans cette question 1/2<§
a quelle condition sur U0 et sur U1, l'élément U=(Un)n>=0 de E§ est-il une suite bornée ? déterminer toutes les suites bornées de E§ (idem j'ai rien fait la)
partie 3 :soit béta un réel strictement positif. on note m=min(1,béta) et M=max(1,béta) on considere la suite V=(Vn)n>=0 vérifiant V0=0 et V1=béta et pour tout n :
Vn+2=sqrt(Vn+1)+sqrt(Vn)
1/ montrer la double égalité pour tout n>0 :
m<= Vn <= M+1
(la je pense qu'il faut faire par récurrence mais j'aboutis à rien)
2/ montrer que si V admet une limite, elle est égale à 4
ca c'est bon j'ai trouvé
voila je sais c'est un peu long mais toute aide meme approximative est la bienvenue
je suis assez poor ces derniers temps j'ai que 16 fg si vous les voulez il y aura aucun soucis bien sur meme si c'est pas grand chose
merci d'avance
lani
yo
j'ai fait une question xD
les autres méritent un peu de réflexion
2/ moi j'ai plutôt : a=(U1-s*U0)/(r-s)
ensuite, pour justifier le fait qu'elles soient toutes proportionnelles, je peux te faire la méthode propre... mais ça nécessite que tu aies déjà vu les espaces vectoriels. Nous on avait fait ça avant les récurrences doubles, mais si tu les as pas vus, inutile de lire la suite.
Je suis pas arrivé à un truc correct utilisant une récurrence, donc je fais juste à ma façon.
remarque préalable : l'ensemble des solutions forme sous-espace vectoriel de E = {suites réelles}.
on définit Phi, application de E§ dans R², qui associe à chaque suite U de E§ le couple (U0 , U1).
phi est bijective et linéaire, donc c'est un isomorphisme d'ev
donc dimE§ = dimR² = 2.
de plus S et R sont 2 suites de E qui forment une partie libre, et comme card(S,R) = 2 = dimE§, c'est une base de E§
donc toute suite de E§ est combinaison linéaire de S et R.
3/
a) c'est bon, une suite géométrique de raison < 1 converge obligatoirement vers zéro.
B ) pour l'existence de n0 j'ai pas trop d'idée... faut utiliser l'expression de Un, mais je me suis enfoncé dans des calculs inutiles
soit je passe à côté du truc soit c'est vraiment dur
c) si U1-U0r est nul alors Un = ((U1 - s*U0)r^n + (rU0 -U1)s^n)/(r-s) = (U1 - s*U0)/(r-s)r^n = constante*r^n et si Un non identiquement nulle, constante =/= 0, donc la suite ne s'annule jamais.
r = §*(1-sqrt(1+4/§))/2 est strictement négatif, donc pour tout n >=0, Un+1 = r*Un = - |r| * Un, ce qui est du signe contraire de Un.
ln (|Un|) = ln (| (U1 - s*U0)/(r-s)r^n| ) = ln(| (U1 - s*U0)/(r-s)|*|r^n| ) = ln(constante * e^(n*ln(|r|))) = ln(constante) + n*ln(|r|) = constante + n*ln(|r|).
donc ln (|Un|) est équivalente à Vn = n * ln(|r|) : limUn/Vn = 1.
This post was edited by Hubbard on Jan 10 2009 09:01am