Aufgabe:
Aus einem rechteckigen Stück Karton mit den Kantenlängen a=20cm und b=30 cm soll gemäß der unten gezeigten bauanleitung eine Schachtel mit maximalem Volumen gebastelt werden. (An den Ecken der Kartons werden gleich große Quadrate mit der Seitenlänge x herausgeschnitten und die verbleibenden Randflächen werden dann hochgefaltet.
Stelle zunächst eine FOrmel für das Volumen auf, die von der Einschnittweite x abhängt. Finde dann das maximal mögliche Volumen. Baue anschließend den Kasten.
Lösungsansatz:
eigenliches Volumen: a*b*c
Volumen in Abhängigkeit von x: (a-x)*(b-x)*x
(a-x)*(b-x)*x = (a*b -a*x -b*x +x^2) *x
=(a*b*x) -(a*x^2 )-(b*x^2) +(x^3)
a-> 20; b-> 30
=> x^3 -50*x^2 +600x
=> f(x)= x^3 -50*x^2 +600x
f'(x)= 3x^2 -100x +600
f''(x)=6x -100
=> finde potentielle Extremstellen
0= f'(x)
0= 3x^2 -100x+600
0=x^2 - (100/3)*x +200
x1,2 = -(-100/3/2) +- Wurzel((-100/2/3)^2 - 200)
= 50/3 +- Wurzel((50/3)^2 -200)
=> x1= 25,49
x2= 7,85
=> Setze x1 und x2 in f''(x) um auf Maxima/Minima/keine Aussage zu überprüfen (lasse das jetzt aus, weil ichs selvber auch nur im tr gemacht habe)
=> lokales Minimum bei x= 25,49 //unintressant, da wir nach dem Maximalvolumen suchen
=> lokales Maximum bei x=7,85
Antwort: der Kasten erreicht bei x=7,85 cm sein Maximales Volumen von ca 2112,61 cm^3
Sooo würd mich mal intressiern ob ich meinen Karton jetzt mit den Werten basteln kann :))