kompliziert!
ich kann nicht sagen, ob das der effizienteste weg ist, aber differentiation hat die richtigkeit des ergebnisses bestätigt
also erstmal t = sqrt(d^2+s^2) womit auch gilt s= sqrt(t^2- d^2)
am ende hast du ds = (dt * t) / (sqrt(t^2-d^2))
eingesetzt ergibt das dann fürs integral: integral dt / (t^2 * sqrt (t^2 - d^2))
so jetzt hab ichn rechtwinkliges dreieck gezeichnet, so dass gilt sec (theta) = t / d
dann bissl umgeformt und differenziert haben wir 2 wichtige aussagen
(1) t = d sec theta und (2) dt = d * sin(theta) / cos ^2 (theta) d(theta)
und es gilt nach pythagoras für die gegenkathete in bezug auf theta: tan theta = sqrt(t^2-d^2) / d und daraus folgt: (3) d tan theta = sqrt (t^2 - d^2)
(1) - (3) setzen wir in das integral ein, das nach t integriert (also nach der ersten substition)... bissl umgebaut mit den trigonometrischen teilen ergib sich dann zunächst für das gesuchte integral I I= 1/d^2 * sin theta
am rechtwinkligen dreieck is jetzt nachzuvollziehen sin theta = sqrt (t^2 - d^2) /t
jetzt führen wir die rücksubstition durch für t = sqrt (d^2 + s^2) und erhalten das ergebnis, das ich genannt hab
(d ist natürlich immer D un ich hab nur das unbestimmte integral gelöst)
es mag auch deutlich einacher gehen, ich bin aber kein mathematiker und mir ist nur diese methode ausm lk damals in der schule bekannt ^^ ich hab auch kein programm, mit dem ich das besser veranschaulichen kann, hoffe, es hilft trotzdem oô
This post was edited by TheOnlyDenny on Jul 16 2012 09:15am