Quote (fernsehen123 @ 8 Jan 2012 10:59)
weil ihr zu blöde seit, habe ich es selbst gelöst!!
hier die lösung. für sowas oder eine äquivalente lösung hättet ihr locker das fg gekriegt....
\renewcommand{\k}[1]{\cfrac[r]{\phantom{|}1 \hfill |}{|#1}}
\renewcommand{\o}{\omega}
\newcommand{\q}{q_{n}(\omega)}
\newcommand{\qq}{q_{n+1}(\omega)}
\newcommand{\qqq}{q_{n+2}(\omega)}
\newcommand{\qqqq}{q_{n+3}(\omega)}
\newcommand{\qw}{q_{n-1}(\omega)}
\newcommand{\qww}{q_{n-2}(\omega)}
\newcommand{\Q}{q_{n}(T \omega)}
\newcommand{\QQ}{q_{n+1}(T \omega)}
\newcommand{\QQQ}{q_{n+2}(T \omega)}
\newcommand{\QQQQ}{q_{n+3}(T \omega)}
\newcommand{\QW}{q_{n-1}(T \omega)}
\newcommand{\QWW}{q_{n-2}(T \omega)}
\newcommand{\w}{p_{n}(\omega)}
\newcommand{\ww}{p_{n+1}(\omega)}
\newcommand{\www}{p_{n+2}(\omega)}
\newcommand{\wwww}{p_{n+3}(\omega)}
\newcommand{\wq}{p_{n-1}(\omega)}
\newcommand{\wqq}{p_{n-2}(\omega)}
\newcommand{\W}{p_{n}(T \omega)}
\newcommand{\WW}{p_{n+1}(T \omega)}
\newcommand{\WWW}{p_{n+2}(T \omega)}
\newcommand{\WWWW}{p_{n+3}(T \omega)}
\newcommand{\WQ}{p_{n-1}(T \omega)}
\newcommand{\WQQ}{p_{n-2}(T \omega)}
Induktion "uber $n$\\
$n=1:$
\[ \frac{1}{a_1(\omega)+t} = \frac{p_1(\omega)+tp_0(\omega)}{q_1(\omega)+tq_0(\omega)} \quad \text{folgt durch einsetzen}\]
$n \rightarrow n+1:$
\[ \k{a_1(\omega)} + ... + \k{a_n(\omega)} + \k{a_{n+1}(\omega)+t} = \frac{p_{n+1}(\omega) + tp_n(\omega)}{q_{n+1}(\omega) + tq_n(\omega)} \]
Weil $a_n(T \omega) = a_{n+1}(\omega)$ gilt, l"asst sich die linke Seite auch als
\[ \k{a_1(\omega)} + \k{a_1(T \omega)} + ... + \k{a_n(T \omega)} \]
schreiben, worauf man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Man erh"alt
\[ \frac{1}{a_1(\omega) + \frac{p_n(\omega) + tp_{n-1}(\omega)}{q_n(\omega) + tq_{n-1}(\omega)}} = \frac{p_{n+1}(\omega) + tp_n(\omega)}{q_{n+1}(\omega) + tq_n(\omega)}, \]
nimmt auf beiden Seiten den Kehrwert, multipliziert dann mit beiden Nennern und kommt auf
\begin{gather*}
a_1(\omega)(\ww + t\w)(\Q + t\QW)\\
+ (\W + t\WQ)(\ww + t\w)\\
= (\qq + t\q)(\Q + t\QW).
\end{gather*}
Ausmultiplizieren und die Gleichung auf die Terme mit $t^2$, $t$ und ohne $t$ aufteilen, bringt uns zu den folgenden $3$ Gleichungen:
\[ a_1(\omega) \ww \Q + \W \ww = \qq \Q \tag{1} \]
\begin{align*}
\tag{2}
&\ a_1(\omega) \ww \QW + a_1(\omega) \w \Q \\
&+ \w \W + \ww \WQ \\
&= \qq \QW + \q \Q
\end{align*}
\[ a_1(\omega) \w \QW + \w \WQ = \q + \QW. \tag{3} \]
Wenn alle 3 Gleichungen wahr sind, sind wir mit dem Beweis fertig.\\
Wir beginnen damit, (1) zu zeigen per Induktion "uber $n$\\
$n=1:$
\[ \phantom{\checkmark} \quad a_1 p_2(\o) q_1(T\o) + p_1(T\o) p_2(\o) = q_2(\o) q_1(T\o) \quad \checkmark \]
$n=2:$
\[ a_1 p_3(\o) q_2(T\o) + p_2(T\o) p_3(\o) = q_3(\o) q_2(T\o) \]
\[ \Longleftrightarrow a_1(a_3 a_2 + 1)(a_3 a_2 + 1) + a_3(a_3 a_2 + 1) \]
\[ = (a_3(a_2 a_1 + 1) + a_1)(a_3 a_2 + 1) \quad \checkmark \]
Die Induktionsvoraussetzung (1) gelte f"ur $n-1$ und f"ur $n$.\\
$n \rightarrow n+1:$
\[ a_1 \www \QQ + \WW \www = \qqq \QQ \]
Einsetzen der Rekursionsformeln f"ur $p_n$ und $q_n$ liefert
\begin{gather*}
a_1(a_{n+2} \ww + \w)(a_{n+2} \Q + \QW)\\
+ (a_{n+2} \W + \WQ)(a_{n+2} \ww + \w)\\
= (a_{n+2} \qq + \q)(a_{n+2} \Q + \QW),
\end{gather*}
was man nach Ausmultiplizieren und einer kurzen Umformung so aussieht:
\begin{gather*}
a_{n+2}^2(\underline{a_1 \ww \Q + \W \ww})\\
+ \underline{a_1\w \QW + \WQ \w}\\
+ a_{n+2}(a_1\ww \QW + a_1 \w \Q\\
+ \w \W + \ww \WQ)\\
= a_{n+2}^2\underline{\qq\Q} + \underline{\q \QW}\\
+ a_{n+2}(\qq \QW + \q \Q).
\end{gather*}
Nun sind wegen der Induktionsvoraussetzung (1) die unterstrichenen Terme gleich und fallen weg. "Ubrig bleibt
\begin{gather*}
a_{n+2}(a_1\ww \QW + a_1 \w \Q + \w \W + \ww \WQ)\\
= a_{n+2}(\qq \QW + \q \Q),
\end{gather*}
wo man durch k"urzen von $a_{n+2}$ (2) erh"alt. Ferner ist (3) erf"ullt durch die Induktionsvoraussetzung (1), wodurch nur noch (2) zu beweisen ist - per Induktion.\\
$n=1:$
\begin{gather*}
a_1 p_2(\o) q_0(T\o) + a_1 p_1(\o) q_1(T\o) + p_1(\o) p_1(T\o) + p_2(\o) p_0(T\o)\\
= q_2(\o) q_0(T\o) + q_1(\o) q_1(T\o)\\
\Longleftrightarrow a_1a_2+a_1a_2+1=a_1a_2+1+a_1a_2 \quad \checkmark
\end{gather*}
$n=2:$
\begin{gather*}
a_1 p_3(\o) q_1(T\o) + a_1 p_2(\o) q_2(T\o) + p_2(\o) p_2(T\o) + p_3(\o) p_1(T\o)\\
= q_3(\o) q_1(T\o) + q_2(\o) q_2(T\o)\\
\Longleftrightarrow a_1(a_3a_2+1)a_2 + a_1a_2(a_3a_2+1)+a_2a_3+a_3a_2+1\\
=(a_3(a_2 a_1 + 1) + a_1)a_2 + (a_2a_1+1)(a_3a_2+1)\\
\Longleftrightarrow a_3a_2^2a_1+a_2a_1+a_3a_2^2a_1+a_2a_1
+a_3a_2+a_3a_2+1\\
=a_3a_2^2a_1+a_3a_2+a_2a_1
+a_3a_2^2a_1+a_2a_1+a_3a_2+1 \quad \checkmark
\end{gather*}
$n \rightarrow n+1:$\\
Beim Induktionsschritt geht man wieder "ahnlich vor wie bisher. Man setzt die Rekursionsgleichungen ein und formt auf beiden Seiten so um, dass man die Induktionsvoraussetzung benutzen kann.
\begin{gather*}
a_1 \www \Q + a_1 \ww \QQ + \ww \WW + \www \W\\
= \qqq \Q + \qq \QQ\\
\Longleftrightarrow\\
a_{n+2}a_{n+1}(\underline{a_1 \ww \QW + a_1 \w \Q}\\
\underline{+\w \W + \ww \WQ})\\
+ \underline{a_1 \w \QWW + a_1 \wq \QW}\\
\underline{+ \wq \WQ + \w \WQQ}\\
+ a_{n+2}(a_1(\ww \QWW + \wq \Q)\\
+ \wq \W + \ww \WQQ)\\
+ a_{n+1}(a_1(\w \QW + \w \QW)\\
+ \w \WQ + \w \WQ)\\
= a_{n+2}a_{n+1} \underline{\qq \QW + \q \Q}\\
+ \underline{\q \QWW + \qw \QW}\\
+ a_{n+2}(\qq \QWW + \qw \Q)\\
+ a_{n+1}(\q \QW + \q \QW)
\end{gather*}
Wieder sind die unterstrichenen Terme nach Induktionsvoraussetzung gleich. Es bleibt eine neue Formel "ubrig, die man auf $a_{n+1}$- und $a_{n+2}$-Terme unterteilen kann. Dadurch entstehen diese beiden Gleichungen:
\begin{gather*}\tag{4}
a_1(\ww \QWW + \wq \Q)\\
+ \wq \W + \ww \WQQ\\
= \qq \QWW + \qw \Q
\end{gather*}
\begin{gather*}\tag{5}
a_1\w \QW + \w \WQ = \q \QW
\end{gather*}
W"ahrend (5) durch die Induktionsvoraussetzung (1) gilt, m"ussen wir (4) durch (die vorerst letzte) Induktion zeigen.\\
$n=1:$
\begin{gather*}
a_1(p_2(\o)q_{-1}(T\o)+p_0(\o) q_1(T\o)) + p_0(\o)p_1(T\o) + p_2(\o)p_{-1}(T\o)\\
= q_2(\o) q_{-1}(T\o) + q_0(\o) q_1(T\o)\\
\Longleftrightarrow a_2 = a_2 \quad \checkmark
\end{gather*}
$n=2:$
\begin{gather*}
a_1(p_3(\o)q_0(T\o)+p_1(\o)q_2(T\o)) + p_1(\o)p_2(T\o) + p_3(\o)p_0(T\o)\\
= q_2(\o) q_0(T\o) + q_1(\o) q_2(T\o)\\
\Longleftrightarrow a_1((a_3a_2+1)+a_3a_2+1)+a_3 = a_3(a_2a_1+1)+a_1+a_1(a_3a_2+1) \quad \checkmark
\end{gather*}
$n \rightarrow n+1:$
Analoge Vorgehensweise liefert schlie"slich
\[ \q \QW = a_1 \w \QW + \w \WQ, \]
was nach Induktionsvoraussetzung (1) gilt, also sind wir fertig.