Finde den Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt total elegant:
Quote
Der folgende Beweis geht auf den antiken Mathematiker Euklid (genauer: Euklides von Alexandria) zurück.
Wir nehmen versuchsweise an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Wenn dies wahr wäre, dann müßte es eine größte aller Primzahlen geben, und diese bezeichnen wir mit n. Die Liste aller Primzahlen wäre dann
2, 3, 5, 7, 11, 13, ... n.
(1)
Daß allerdings diese Annahme nicht stimmen kann, wird offenbar, wenn die Zahl
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × n + 1
(2)
(d.h. das Produkt aller Primzahlen plus 1) betrachtet wird:
Diese Zahl wäre sehr viel größer als n, könnte also keine Primzahl sein. Folglich müßte sie einen (von 1 und ihr selbst verschiedenen) Teiler besitzen. Dieser Teiler könnte in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden, und alle diese Primfaktoren müßten die Zahl (2) teilen. (Wenn eine Zahl z.B. von 10 geteilt wird, dann auch von den Primfaktoren 2 und 5). Es müßte also zumindest eine Primzahl geben, die (2) teilt.
Andererseits läßt sich (2) nicht restlos durch irgendeine Primzahl unserer Liste 2, 3, 5, ... n dividieren, da immer Rest 1 bleibt!!! Es gäbe also eine Primzahl, die nicht in unserer Liste vorkommt! Das widerspricht aber der Annahme, daß wir in (1) alle Primzahlen aufgezählt haben!
Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen führt auf einen (logischen) Widerspruch, kann also nicht wahr sein! (Denn es gilt ganz allgemein: Eine Ausage, aus der sich ein Widerspruch konstruieren läßt, muß falsch sein).
Damit ist bewiesen:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.